Vztahy jsou jedna z nejsložitějších věcí v moderní společnosti. Řeší se vztahy v rodině, v práci, mezi kamarády, řeší se vztahy mezilidské i mezinárodní. A vyhraje ten, kdo jim všem porozumí, přestože zcela pochopit je nezvládne nikdo.
Jinak je tomu v matematice. Tam je vztah mezi dvěma prvky množiny velice dobře definován.
Def.: Relací R na množině A myslíme libovolnou podmnožinu kartézského součinu A x A
Libovolné dva (ne nutně různé) prvky spolu prostě vztah buď mají nebo nemají. Jako příklad si vezměme jednoduchou situaci: „Alice si podala ruku s Bobem.“ V matematice tedy můžeme říct, že Alice s Bobem jsou nyní ve vztahu „Podali si ruce.“ Oba dva o tom vědí, nelze o tom pochybovat a nikdy se to už nezmění. Podobnými vztahy mohou být i například:
- Hráli spolu šachy
- Seděli spolu u stolu
- Bydlí na stejné ulici
- Přátelí se na Facebooku
- Vede mezi nimi přímé vlakové spojení
- Sousedí společnou hranicí
Dokážete jich vymyslet ještě více?
Když už jste se seznámili s matematickým chápáním pojmu Vztah, jistě vás potěší pár zajímavostí. Jednou mi můj známý řekl, že zná někoho, kdo zná někoho, kdo zná někoho, kdo zná někoho, kdo zná někoho, kdo znal bratra Usamy bin Ladina. Podobně jsem si jednou podal ruku s někým, kdo podal ruku královně Alžbětě II. Podle průzkumu BBC z roku 2011 také platilo, že mezi dvěma náhodnými účty na Facebooku je řetěz dlouhý průměrně 4,74 přátelství (tzn. znají se přes 3,74 další lidi). Dnes bude „blízkost“ na FB jistě ještě menší. Vizte také koncept https://en.m.wikipedia.org/wiki/Six_degrees_of_separation
Pro ještě hlubší pochopení tohoto pojmu si ještě můžeme pár takovýchto vztahů popsat, a to hned třemi způsoby.
Popis relace výčtem
Matematický vztah lze popsat výčtem všech dvojic, které tento vztah splňují. Zde bude jistě nejvýstižnější uvést úryvek z epizody 02×08 seriálu Teorie velkého třesku, kde rozšiřovali hru Kámen – nůžky – papír o nová pravidla. Vztah bychom pojmenovali jako „X poráží Y.“
Sheldon: „Navrhuji kámen – nůžky – papír – ještěr – Spock.“
Rajesh: „Cože?“
Sheldon: „Je to velmi jednoduché. Nůžky rozstřihnou papír, papír balí kámen, kámen drtí ještěra, ještěr otráví Spocka, Spock zničí nůžky, nůžky zabijí ještěra, ještěr sežere papír, papír usvědčuje Spocka, Spock nechá vypařit kámen, a jak tomu vždy bylo, kámen tupí nůžky.“
Popis relace tabulkou
Vztah můžeme popsat také přehledněji tabulkou. Příkladem mohou být výsledky krajské hokejové mládežnické ligy v Hodoníně z roku 2020. K dispozici máme sice navíc ještě ohodnocení těchto zápasů, nám ale postačí, který tým nad kterým týmem zvítězil.
Popis relace diagramem
Zde se nabízí nádherný brněnský vztah definovaný na zastávkách hromadné dopravy, a to „Lze se dostat z jedné do druhé bez přestupu.“
Relace symetrické a antisymetrické
Def.: Relaci R nazveme symetrickou, jestliže pro libovolnou dvojici (x, y) z relace R v ní najdeme také dvojici (y, x).Některé vztahy prostě jsou, oba koncové subjekty o něm vědí a jsou si v daném vztahu rovnocenné, např.: „Byli spolu na večeři“. Když Petr byl na večeři s Boženou, tak Božena byla s Petrem. Těžko večeří Božena s Petrem, ale Petr bez Boženy… Jiné vztahy však tuto vlastnost mít nemusí.
Def.: Relaci R nazveme antisymetrickou, jestliže pokaždé, když najdeme prvky x, y takové, že jak dvojice (x, y), tak i dvojice (y, x) je obsažena v relaci R, musí nutně nastat jejich rovnost, tedy x = y.Mezi antisymetrické řadíme ty vztahy, u kterých nemůže nastat, aby dva prvky byly ve vztahu vzájemně. Jako příklad si vezmeme vztah „Je otcem.“ Jestliže je totiž Gustav otcem Alenky, tak je naprosto vyloučeno, aby Alenka byla otcem Gustava. Dalšími příklady mohou být např. vztahy
- Učil ho matematiku
- Je potomkem
- Dal mu pěstí (tady je antisymetrie občas sporná)
- Má více vlasů
- Vícekrát ho porazil v páce
- Dluží mu peníze
- Vyhlásil mu válku
- …
Bohužel, ne všechny vztahy však můžeme do těchto dvou skupin úspěšně rozřadit. Co takhle vztahy typu „Líbí se mu“ nebo „Miluje ho“ nebo dokonce „Miluje ho a řekl mu to?“ Tady si každý musí vytvořit svůj názor, na to už matematika nestačí. Dle mého názoru je nutnou podmínkou k úspěchu, když jsou tyto vztahy bez výjimek symetrické. Dostatečnou podmínkou však je, když jsou si onou symetričností oba jistí.
Existuje i mnoho dalších vlastností, kterými matematika tyto vztahy popisuje. Hezkou je třeba tzv. „tranzitivita,“ která říká toto: „Moje manželka si koupila čokoládu. Manželka je moje. Z toho plyne – beru si čokoládu.“
Vidíme tedy, že přestože je matematika na přesný popis světa krátká, může nám mnohdy posloužit alespoň jako nástroj k částečnému porozumění. O dalších takovýchto nástrojích si však povíme příště.
Zdroj titulního obrázku:
